Die Kettenregel bildet eine Möglichkeit, die Ableitung der Verkettung zweier differenzierbarer Funktionen und auszurechnen:
Das Multiplizieren mit heißt auch Nachdifferenzieren.
Um die Ableitung der Verkettung von und zu berechnen, setzt man also in die Ableitung ein und differenziert nach.
Einfach gesagt: "Äußere Ableitung mal innere Ableitung":
Zerlegung der Funktion in innere und äußere Funktionen
Betrachten wir als Beispiel die verkettete Funktion mit . Wir möchten sie mit der Kettenregel ableiten. Dazu muss zunächst in die beiden Teilfunktionen und zerlegt werden.
Diese Zerlegung veranschaulichen wir, indem wir als "" und als "" betrachten. Im Beispiel ist die innere Funktion . Die äußere Funktion ist die Quadratfunktion, also .
Setzen wir den inneren Funktionsterm von in den äußeren Funktionsterm von ein, erhalten wir die Verkettung der beiden Funktionen: ,
Das führt wie gewünscht zur Ausgangsfunktion .
Mit der nachfolgenden Animation kannst du dir die (punktweise) Entstehung des Schaubildes einer verketteten Funktion aus den Schaubildern der inneren und äußeren Funktionen mit verschiedenen Beispielen veranschaulichen.
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.
Video zur Kettenregel
Eingebetteter Serlo-Inhalt
Beispiele zur Kettenregel
Funktion | äußere Funktion | innere Funktion |
|---|---|---|
Anwendung der Kettenregel am Beispiel
Berechne die Ableitung der Funktion .
Zunächst zerlegt man in und mit .
Dann berechnet man die Ableitungen von und …
… und setzt in ein.
Zuletzt muss man noch nachdifferenzieren und erhält insgesamt die Ableitung von .
Eingebetteter Serlo-Inhalt